Inequação do 1º grau

As inequações do 1º são fundamentadas pelo princípio da desigualdade  ( <, < , >, > ) e , podem ser representadas das seguintes formas:

ax + b > 0 

ax + b > 0

ax + b < 0

ax + b < 0

Sendo a e b  constantes reais  com  a diferente de 0 e , x a variável.

As inequações apresentam as seguintes propriedades:

• Podemos adicionar ou subtrair um mesmo número a ambos os membros de uma inequação que a desigualdade se mantém.

• Podemos dividir ou multiplicar  ambos os membros de uma inequação por um mesmo número positivo que a desigualdade se mantém.

• Quando dividimos ou multiplicamos ambos os membros por um mesmo número negativo as desigualdades se invertem (< passa para > , <  passa para >  , e vice-versa).

Exemplo:

Considerando como universo o conjunto dos números naturais determine o conjunto solução da inequação 4x +8 < 3x + 12.

Resolução:

Primeiro vamos passar as variáveis para o primeiro membro e, em seguida passamos as constantes para o segundo membro.Temos então:

4x - 3x < 12 - 8 

Resolvemos, 

x < 4

Vamos agora escrever a resposta, ou seja o conjunto  solução da inequação.

S = { 0,1 ,2,3}

Chegamos a essa resposta devido ao universo que foi definido no enunciado do problema, ou seja, vai entrar apenas os números naturais  e  menores que 4.

Observação:

Se o universo do exemplo anterior fosse o conjunto dos números reais a resposta seria a seguinte:

S = { x € R/ x < 4}

Dizemos então que x pertence ao conjunto dos números reais tal que x < 4 , pois o x pode assumir qualquer valor menor que 4, o qual não seria viável representar todos esses valores na resposta.

Equação do 1º Grau

As equações do 1º grau são fundamentadas pelo princípio da igualdade ( = ) e são representadas da seguinte maneira:

ax + b = 0

Sendo a e b constantes reais, com a diferente de 0 e x a variável.

Ex:

5x + 3 = 3x + 7

 x + 1 = 0

 9x - 5x = 2x + 6

As equações do 1° grau apresenta as seguintes propriedades:

• Podemos adicionar ou subtrair um mesmo número de ambos os membros  de uma equação que a igualdade se mantém.
• Podemos dividir ou multiplicar ambos os membros  de uma  equação por um mesmo número não nulo que a igualdade se mantém.

Resolvendo uma equação do 1º  grau:

As equações do 1º grau são dispostas em dois membros separadas por uma igualdade, assim representada:

1º membro   =  2º membro

Temos a seguinte equação:

5x + 3   = 3x + 7 

a variável é x:

Para resolver a  equação do 1° grau  deixamos a  variável  sempre no primeiro membro. Se ela estiver no segundo membro devemos passar ela para o primeiro membro, tomando cuidado com o sinal. Já as  constantes, ou seja, os números passamos para o segundo membro. Ficando assim:

5x -3x = 7 - 3

Nesse caso passamos  3x para o primeiro membro, fazendo o jogo de sinais.

Em seguida passamos a constante representada pelo número 3 para o segundo membro fazendo o jogo de sinais.

Resolvendo agora:

2x = 4

x = 4

      2

x = 2

As equações do 1° grau são muito utilizadas na resolução de problemas que envolve apenas uma variável. Vamos a um exemplo.

Exercícios

Duas caixas  D e F  contêm maçãs . A caixa D  contém 6 maçãs a mais que  a metade de maçãs da caixa F. Sabendo que as caixas D e F  contêm juntas 36 maçãs, quantas maçãs contém a caixa F.

Resolução:

Como já foi falado as equações do 1° grau  são utilizadas na resolução de problemas que apresentam apenas um tipo de variável.

Neste caso a  variável é a  maçã que vamos representar por meio da letra x

 No enunciado do problema diz que a caixa D contém 6 maçãs a mais que a metade de maçãs da caixa F. Vamos representar as caixas de maçãs:

Vamos representar  a caixa F como x.

A metade da caixa F será  x

                                      2

Agora conseguimos representar a caixa D.

Caixa D = x + 6

               2  

Temos a informação de que o total de maçãs das duas caixas é 36.

Montando a equação:

Caixa D + Caixa F = 36

  x + 6   +     x        = 36

  2 

Resolvendo o mínimo do denominador (mmc):

x  + 12    +   2x      = 72

                2

Após resolver o mínimo podemos cancelar o denominador ( 2 ) , ficando assim:

 x + 12    +   2x     = 72

Resolvendo:

3x = 72 - 12 

x = 60

      3

X = 20

com esse resultado já sabemos o número de maçãs da caixa F, que está representado como:

F = x, temos então F = 20 maçãs - resposta do exercícios

Para sabermos  o número de maçãs da caixa D jogamos  na representação da caixa D.

D = x  +  6 

       2

D = 20 + 6   - vamos simplificar  20 por 2

        2                                       2

Temos:

D = 10 + 6  

Ficando assim:

D =16

Somando as maçãs das duas caixas temos:

16 + 20 = 36 

Resolvemos dessa maneira o exercício proposto.

Bons estudos!!

  

Racionalização de denominadores

A racionalização de denominadores é realizada para transforma-lo em um número racional.
Para que se possa entender melhor  o que é racionalizar um denominador vamos pegar um exemplo.

Ex:

  

  

Nesse caso para racionalizarmos o denominador √5 temos que realizar o produto de radicais de mesmo índice, nesse caso o índice é 2.

Observação: a raiz em que o índice não aparece graficamente é chamado de raiz quadrada e o índice é 2.

Se você estiver com dúvidas em relação aos radicais dê uma olhada na postagem Radiciação que está postada neste blog para relembrar, porque vai ser muito importante saber suas propriedades na hora de resolver exercícios de radiciação e racionalização de denominadores.

Voltando ao exemplo vamos fazer o produto dos radicais do denominador mas temos também que multiplicar o radical que criamos com o numerador também. Temos então: 

Para racionalizar o denominador criamos um mesmo radical ( 5 )  e, de mesmo índice ( 2 ), temos apenas que verificar  qual o expoente do radical ( 5 ) para que quando multiplicarmos os radicais a soma dos expoentes tem que dar para cortar, termo comumente utilizado, com o índice do radical.

 Lembrando que, na multiplicação de radicais conserva-se  os índices e multiplica os radicais. Como nesse caso os radicais possuem potências e na multiplicação de potências de mesma base conserva-se a base e soma os expoentes, temos:

Cortamos o índice do radical com o do expoente do radical  chegando na resposta

Podemos escrever a resposta assim: